§6. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Какая фигура называется четырёхугольником?
Ответ. Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырёхугольника.

Рис. 117

Вопрос 2. Какие вершины четырёхугольника называются соседними, какие - противолежащими?
Ответ. Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими.

Вопрос 3. Что такое диагонали четырёхугольника?
Ответ. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.
У четырёхугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки AC и BD.

Вопрос 4. Какие стороны четырёхугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?
Ответ. Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
У четырёхугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны AB и CD, BC и AD.

Вопрос 5. Как обозначается четырёхугольник?
Ответ. Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырёхугольник на рисунке 117 обозначается так: ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD на рисунке 117 можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (B и D - не соседние вершины).

Вопрос 6. Что такое параллелограмм?
Ответ. Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118).

Рис. 118

Вопрос 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Ответ. Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения его диагоналей (рис. 119).
Треугольники AOD и COB равны. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OD = OB и OA = OC по условию теоремы.

Рис. 119
Значит,углы OBC и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых AB и CD с помощью равенства треугольников AOB и COD.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырёхугольник - параллелограмм. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ. Теорема 6.2. (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD - данный параллелограмм (рис. 120). Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину O и на продолжении отрезка AO отложим отрезок OC1, равный AO.

Рис. 120
По теореме 6.1 четырёхугольник ABC1D есть параллелограмм. Следовательно, прямая BC1 параллельна AD. Но через точку B можно провести только одну прямую, параллельную AB. Значит, прямая BC1 совпадает с прямой BC.
Точно так же доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC.
Значит, точка C1 совпадает с точкой C. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC1D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Вопрос 9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Ответ. Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD - данный параллелограмм (рис. 122). Проведём диагонали параллелограмма. Пусть O - точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон AB и CD следует из равенства треугольников AOB и COD. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OA = OC и OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и COB следует равенство другой пары противолежащих сторон - AB и BC.

Рис. 122
Равенство противолежащих углов ABC и CDA следует из равенства треугольников ABC и CDA (по трём сторонам). У них AB = CD и BC = DA по доказанному, а сторона AC общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.

Вопрос 10. Что такое прямоугольник?
Ответ. Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124).

Рис. 124

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Возможно, Вам нужно вот это: