Задача № 414. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} \\ (m \,\text{и}\, n - \text{натуральные числа}).\]

Решение.

\[(a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i};\;C_k^i=\frac{k!}{i!(k-i)!}\]

\[(1+mx)^n = \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}1^{n-i}(mx)^{i} = \\ = 1^n + n\cdot 1^{n-1}\cdot mx + \frac{n(n-1)}{2}\cdot 1^{n-1}\cdot(mx)^2 + \sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}1^{n-i}(mx)^{i} = \\ = 1 + nmx + \frac{1}{2}n(n-1)m^2x^2 + x^3\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3}\right).\]

\[(1+nx)^m = \sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}1^{m-i}(nx)^{i} = \\ = 1^m + m\cdot 1^{m-1}\cdot nx + \frac{m(m-1)}{2}\cdot 1^{m-1}\cdot(nx)^2 + \sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}1^{m-i}(nx)^{i} = \\ = 1 + mnx + \frac{1}{2}m(m-1)n^2x^2 + x^3\left(\sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right).\]

Отсюда,

\[(1+mx)^n - (1+nx)^m = \\ = 1 + nmx + \frac{1}{2}n(n-1)m^2x^2 + x^3\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3}\right) - \\ - 1 - mnx - \frac{1}{2}m(m-1)n^2x^2 - x^3\left(\sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right) = \\ = \frac{1}{2}x^2n^2m^2 - \frac{1}{2}x^2nm^2 - \frac{1}{2}x^2m^2n^2 + \frac{1}{2}x^2mn^2 + \\ + x^3\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3} - \sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right) = \\ = \frac{1}{2}mn(n-m)x^2 + x^3\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3} - \sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right).\]

Таким образом,

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = \\ = \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{2}mn(n-m)x^2 + x^3\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3} - \sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right)\right) \\ = \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}mn(n-m) + x\left(\sum_{i=3}^{n}C_{n}^{i}m^ix^{i-3} - \sum_{i=3}^{m}C_{m}^{i}n^ix^{i-3}\right)\right) = \\ = \frac{1}{2}mn(n-m) + 0 = \frac{1}{2}mn(n-m).\]

Ответ. \(\frac{1}{2}mn(n-m)\).

• < Назад
• Вперёд >