Задача № 424. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x-1}.\]

Решение.

\[x^k - 1 = x^k - x^{k-1} + x^{k-1} + ... - x + x - 1 = \\ = x\cdot x^{k-1} - x^{k-1} + x\cdot x^{k-2} + ... - x + x\cdot 1 - 1 = \\ = x\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1) + \\ - 1\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1) = \\ = (x-1)\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1),\]

где \(k\) - натуральное число.

\[x + x^2 + ... + x^n - n = \\ = (x-1) + (x^2-1) + ... + (x^n-1) = \\ = (x-1)\cdot 1 + (x-1)\cdot(x+1) + .. + \\ + (x-1)\cdot(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1) = \\ = (x-1)\cdot (n + (n-1)x + (n-2)x^2 + ... + 2x^{n-2} + x^{n-1}).\]

Отсюда,

\[\frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x-1} = \\ = \frac{(x-1)\cdot (n + (n-1)x + (n-2)x^2 + ... + 2x^{n-2} + x^{n-1})}{x-1} = \\ = n + (n-1)x + (n-2)x^2 + ... + 2x^{n-2} + x^{n-1}.\]

Следовательно, искомый предел равен

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x-1} = \\ = \lim\limits_{x\to 1}\left(n + (n-1)x + (n-2)x^2 + ... + 2x^{n-2} + x^{n-1}\right) = \\ = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = \\ = \frac{n(n+1)}{2}.\]

Ответ. \(\frac{n(n+1)}{2}\).