№ 9. Доказать неравенство
\((1) \quad 2!4!...(2n)!>[(n+1)!]^n\quad\text{при}\quad n>1.\)

Решение. Проверим неравенство при \(n=2\):
\(2!4! = 1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4 = 48\),
\([(2+1)!]^2 = [3!]^2 = 36\),
\(48 > 36\).
При \(n=2\) неравенство верно.

Предположим, что при \(n=k\) неравенство также верно:
\((2) \quad 2!4!...(2k)!>[(k+1)!]^k\)
и покажем верность неравенства при \(n=k+1\). То есть покажем, что следующее неравенство верно:
\((3) \quad 2!4!...(2k)!(2(k+1))!>[(k+2)!]^{k+1}.\)
Для выражения, расположенного в правой части неравенства (3), имеем:
\((4) \quad [(k+2)!]^{k+1}=[(k+2)!]^k(k+2)!=[(k+1)!]^k(k+2)^k(k+2)!.\)
Для \((2(k+1))!\) из левой части (3) имеем:
\((2(k+1))!=(k+2)!(k+3)...(2k+1)(2k+2)\).
Выражение \((k+3)...(2k+1)(2k+2)\) состоит из \(2k+2-(k+2)=k\) множителей, каждый из которых больше \(k+2\). Следовательно,
\((5) \quad (2(k+1))!>(k+2)!(k+2)^k=(k+2)^k(k+2)!\)
Из неравенств (2) и (5) и равенства (4) получаем:
\(\begin{multline}
2!4!...(2k)!(2(k+1))!>[(k+1)!]^k(2(k+1))!>\\
>[(k+1)!]^k(k+2)^k(k+2)!=[(k+2)!]^{k+1}
\end{multline}\).

Неравенство (3) верно.

Неравенство (1) доказано.

Задача решена.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить