№ 8. Доказать неравенство
\((1) \quad n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\quad\text{при}\quad n>1.\)

Указание. Использовать неравенство
\(\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>2\quad (n=1, 2, ...)\).

Решение. Иcпользуя неравенство, доказанное в задаче 7, имеем:
\(\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>1+(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}=1+1=2\),
\(\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}>2\quad (n=1, 2, ...)\).
Отсюда вытекает неравенство, которое нам понадобиться при доказательстве неравенства (1):
\(\begin{equation}
2(n+1)^{n+1}<(n+2)^{n+1}\quad (n=1, 2, ...).
\end{equation}\)

Проверим верность неравенства (1) при \(n=2\):
\(\left(\frac{2+1}{2}\right)^2=(1,5)^2=2,25>2=2!\),
\(2!<\left(\frac{2+1}{2}\right)^2\)

Пусть при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число) неравенство (1) верно:
\(\begin{equation}
k!<\left(\frac{k+1}{2}\right)^k.
\end{equation}\)

Теперь докажем его верность при \(n=k+1\).
\((k+1)!=k!(k+1)<\left(\frac{k+1}{2}\right)^k(k+1)==\left(\frac{k+1}{2}\right)^k\frac{k+1}{2}\cdot2=\)
\(
=2\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}=2\cdot\frac{(k+1)^{k+1}}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}\cdot2\cdot(k+1)^{k+1}<\)
\(<\frac{1}{2^{k+1}}\cdot(k+2)^{k+1}=\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}\),
т.е.
\((k+1)!<\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}\).

Неравенство доказано.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить