№ 7. Доказать, что если \(x>-1\), то справедливо неравенство
\((1+x)^n \geq 1+nx\quad (n>1)\),
причем знак равенства имеет место лишь при \(x=0\).

Решение. Для \(x>-1\) и \(x\neq 0\), используя метод математической индукции, докажем следующее строгое неравенство:
\((1) \quad (1+x)^n>1+nx \quad (n>1).\)

При \(n=2\) строгое неравенство верно:
\((1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x\),
так как \(x^2>0\).

Пусть при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число) верно строгое неравенство:
\((1+x)^k>1+kx\).

Теперь докажем его верность при \(n=k+1\). Так как \(x>-1\), то \(1+x>0\)  и
\(\begin{multline}
(2) \quad (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^2=\\=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x.
\end{multline}\)
В (2) последнее неравенство верно, потому что \(kx^2>0\). Следовательно,
\((1+x)^{k+1}>1+(k+1)x\).
То есть (1) имеет место для всех \(x>-1\), кроме нуля.

При \(x=0\) имеет место равенство:
\((1+0)^n=1^n=1=1+0=1+n\cdot0\),
\((1+0)^n=1+n\cdot0\).

Задача полностью решена.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить