№ 4. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа \(n\) справедливо следующее равенство:
\(1+2+2^2+...+2^{n-1}=2^n-1\).

Решение. При \(n=1\) равенство верно:
\(2^0=2^1-1\),
\(1=2-1\),
\(1=1.\)

Теперь предполагая верность равенства при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число):
\(1+2+2^2+...+2^{k-1}=2^k-1\),
покажем его верность при \(n=k+1\):
\(1+2+2^2+...+2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2\cdot2^k-1=2^{k+1}-1\),
т.е.
\(1+2+2^2+...+2^{k-1}+2^k=2^{k+1}-1\).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить