№ 10.1.г) Доказать неравенство
\((1) \quad (2n)!<2^{2n}(n!)^2.\)

Решение. Для доказательства неравенства (1) воспользуемся методом математической индукции.

При \(n=1\) неравенство (1) верно:
\((2 \cdot 1)!=2<2^{2 \cdot 1}(1!)^2=2^2 \cdot 1^2=4\).

Теперь предположим, что неравенство (1) верно при \(n=k\) :
\((2k)!<2^{2k}(k!)^2\)
и покажем, что оно также верно при \(n=k+1\) :
\(\begin{multline}
(2(k+1))!=(2k)!(2k+1)(2k+2)<2^{2k}(k!)^2(2k+1)(2k+2)<\\
2^{2k}(k!)^2(2k+2)(2k+2)=2^{2k}(k!)^2 \cdot 4(k+1)^2=\\
2^{2k+2}(k!)^2(k+1)^2=2^{2(k+1)}((k+1)!)^2.
\end{multline}\)

Таким образом,
\((2(k+1))!<2^{2(k+1)}((k+1)!)^2\).

Неравенство (1) доказано.

• < Назад