№ 6. Доказать неравенство Бернулли:
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+...+x_n\),
где \(x_1, x_2, ... x_n\) - числа одного и того же знака, большие -1.

Решение. При \(n=1\) неравенство очевидно верно:
\(1+x_1\geq 1+x_1\)

Проверим неравенство при \(n=2\). Имеем
\((1) \quad (1+x_1)(1+x_2)=1+x_2+x_1+x_1x_2=1+x_1+x_2+x_1x_2\)

Так как числа \(x_1\) и \(x_2\) имеют один и тот же знак, то
\(x_1\cdot x_2\geq 0\)
и
\((2) \quad 1+x_1+x_2+x_1x_2\geq 1+x_1+x_2\)

Из (1) и (2) вытекает, что
\((1+x_1)(1+x_2)\geq 1+x_1+x_2\).
Таким образом, при \(n=2\) неравенство тоже верно.

Предположим, что при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число) неравенство верно:
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)\geq 1+x_1+x_2+...+x_k\)

Теперь проверим его верность при \(n=k+1\). Так как по условию задачи \(x_{k+1}>-1\), то
\(1+x_{k+1}>0\)
и
\(\begin{multline}
(3) \quad (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)(1+x_{k+1})\geq\\ \geq(1+x_1+x_2+...+x_k)(1+x_{k+1})=\\
=1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+1}x_2+...+x_{k+1}x_k
\end{multline}\)

Так как числа \(x_2, ..., x_{k+1}\) имеют один и тот же знак, то
\(x_{k+1}x_2\geq 0, ..., x_{k+1}x_k\geq 0\)
и
\(\begin{multline}
(4) \quad 1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+1}x_2+...+x_{k+1}x_k\geq\\ \geq1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}
\end{multline}\)

Из (3) и (4) вытекает, что
\((1+x_1)(1+x_2)...(1+x_k)(1+x_{k+1})\geq 1+x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}\).

Неравенство доказано.

• < Назад
• Вперёд >