Решить уравнения:
$$
5.001. а) A_x^2 \cdot C_x^{x-1} = 48; б) C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9x^2 - 14x.
$$
Решение.
а) \(A_x^2 \cdot C_x^{x-1} = 48;\)
\(
A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}\), где \(m \leq n (5.1)
\)
\(
C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1; (5.4)
\)
\(
A_x^2 = \frac{x!}{(x - 2)!} = \frac{x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)!}{(x - 2)!} = x(x-1);
\)
\(
C_x^{x-1} = \frac{x!}{(x-(x-1))! (x-1)!} = \frac{x \cdot (x-1)!}{(x-x+1)! (x-1)!} = \frac{x}{1!} = x;
\)
Из этих равенств следует, что \(x \geq 2\) и \(x \geq x-1\).
\(A_x^2 = x(x-1);\)
\(
C_x^{x-1} = x;
\)
\(
A_x^2 \cdot C_x^{x-1} = 48 \Rightarrow x(x-1) \cdot x = 48.
\)
\(
x \cdot x \cdot (x-1) = 48;
\)
\(
x \cdot x \cdot (x-1) = 4 \cdot 4 \cdot 3;
\)
\(
x \cdot x \cdot (x-1) = 4 \cdot 4 \cdot (4-1);
\)
Отсюда, x = 4.
Так как 4 > 2 и 4 > 4 - 1, то x = 4 - верное решение.
Ответ: x = 4.

б) \(C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9x^2 - 14x\)
\(
C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1; (5.4)
\)
\(
С_x^1 = \frac{x!}{(x - 1)! \cdot 1!} = \frac{x \cdot (x - 1)!}{(x - 1)! \cdot 1} = \frac{x}{1} = x;
\)
\(
С_x^2 = \frac{x!}{(x - 2)! \cdot 2!} = \frac{x \cdot (x - 1) \cdot (x-2)!}{(x - 2)! \cdot 2} = \frac{x(x - 1)}{2} = \frac{x^2 - x}{2};
\)
\(
6C_x^2 = 6 \cdot \frac{x^2 - x}{2} = 3 \cdot \frac{x^2 - x}{1} = 3(x^2 - x) = 3x^2 - 3x;
\)
\(
С_x^3 = \frac{x!}{(x - 3)! \cdot 3!} = \frac{x \cdot (x - 1) \cdot (x-2) \cdot (x - 3)!}{(x - 3)! \cdot 6} = \frac{x(x - 1)(x - 2)}{6} = \frac{x(x^2 - \underline{2x} - \underline{x} + 2)}{6} = \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{6};
\)
\(
6C_x^3 = 6 \cdot \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{6} = x^3 - 3x^2 + 2x;
\)
Из этих равенств следует, что x \(\geq\) 3.
\(
C_x^1 = x, 6C_x^2 = 3x^2 - 3x, 6C_x^3 = x^3 - 3x^2 + 2x.
\)
\(
C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9x^2 - 14x \Rightarrow \underline{x} + \widetilde{3x^2} - \underline{3x} + x^3 - \widetilde{3x^2} + \underline{2x} = 9x^2 - 14x;
\)
\(
x^3 = 9x^2 - 14x
\)
\(
x^3 - 9x^2 + 14x = 0
\)
\(
x(x^2 - 9x + 14) = 0
\)
\(
x_1 = 0\) или \(x^2 - 9x + 14 = 0
\)
\(
x^2 - 9x + 14 = 0
\)
\(
D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2, D>0
\)
\(
x_{2, 3} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{5^2}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 5}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2;
\)
\(
x_3 = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7.
\)
\(
x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 7.
\)
\(
0 \ngeq 3\) и \(2 \ngeq 3\), а \(7 > 3.
\)
Значит, условию удовлетворяет только третье значение x, то есть x = 7.
Ответ: x = 7.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить