5.015. Определить \(A_n^2\), если пятое слагаемое разложения \((\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x})^n\) не зависит от x.

Решение.
\(A_n^2=?\)
\(A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}\), где \(m \leq n\)

\(T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k\)
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1;\)

\(T_{5}=T_{4+1}=C_n^4\cdot(\sqrt[3]{x})^{n-4}\cdot(\frac{1}{x})^4\)

1) \((\sqrt[3]{x})^{n-4}=x^{\frac{n-4}{3}}\)
2) \((\frac{1}{x})^4=\frac{1^4}{x^4}=\frac{1}{x^4}=x^{-4}\)
3) \(x^{\frac{n-4}{3}}\cdot x^{-4}=x^{\frac{n-4}{3}+(-4)}=x^{\frac{n-4}{3}-4} =x^{\frac{n-4}{3}-\frac{12}{3}}=x^{\frac{n-4-12}{3}}=x^{\frac{n-16}{3}}\)

По условию задачи пятое слагаемое разложения не зависит от x. Можно сказать, что в пятом слагаемом данного разложения x дано в нулевой степени.

Отсюда,
\(x^{\frac{n-16}{3}}=x^0\)
\(\frac{n-16}{3}=0 \quad | \cdot3\)
\(n-16=0\)
\(n=16\).
\[A_{16}^2=\frac{16!}{(16-2)!}=\frac{16\cdot15\cdot14!}{14!}=\frac{16\cdot15}{1}=16\cdot15=240.\]

Ответ: \(A_{16}^2=240.\)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Возможно, Вам нужно вот это: