Аксиоматика Колмогорова 

Аксиоматика Колмогорова — общепринятый аксиоматический метод при математическом описании событий и вероятностей; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д.Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»: «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов.»

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали de:GeorgBohlmann[3] (1908), С. Н. Бернштейн[4] (1917), Р. Мизес[5] (1919 и 1928), а также Ломницкий A.[6] (1923) на базе идей Э. Бореля[7] о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), позволившую описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

 

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть ~\Omega — множество элементов ~\omega, которые называются элементарными событиями, а ~\mathcal{F} — множество подмножеств ~\Omega, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а ~\Omega — пространством элементарных событий.

·                  Аксиома I (алгебра событий). \mathcal{F}является алгеброй событий.

·                  Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию xиз \mathcal{F}поставлено в соответствие неотрицательное действительное число \mathbf{P}(x), которое называется вероятностью события x.

·                  Аксиома III (нормировка вероятности). \mathbf{P}(\Omega)=1.

·                  Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события xи yне пересекаются, то

\mathbf{P}(x+y)= \mathbf{P}(x)+ \mathbf{P}(y).

Совокупность объектов (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}), удовлетворяющая аксиомам IIV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом IIV непротиворечива. Это показывает следующий пример: ~\Omegaсостоит из единственного элемента ~\omega, \mathcal{F} — из ~\Omegaи множества невозможных событий (пустого множества) \varnothing, при этом положено \mathbf{P}(\Omega)=1, \mathbf{P}(\varnothing)=0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (IIV) выполняется ещё следующая

·                  Аксиома V (непрерывности). Для убывающей последовательности

x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots

событий из \mathcal{F}такой, что

\bigcap_{n} x_n = \varnothing,

имеет место равенство

\lim_{ n  \rightarrow \infty  } \mathbf{P}(x_n) = 0.

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом IIV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий \mathcal{F}конечна, аксиома V следует из аксиом IIV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом IV является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом IIV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (IIV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра \mathcal{F}событий пространства элементарных исходов \Omegaназывается борелевской алгеброй, если все счётные суммы \sum_{n} x_nсобытий x_nиз \mathcal{F}принадлежат \mathcal{F}. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют \sigma-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P}), где \mathcal{F}_0 — алгебра, \mathbf{P} — вероятностная мера на ней. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{F}_0), содержащая \mathcal{F}_0. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на (\Omega, \mathcal{F}_0)неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств \mathbf{P} = \mathbf{P}(\cdot)всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из \mathcal{F}и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле (\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P})может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры \mathcal{F}бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», прямо не представимые в мире наблюдений. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из \mathcal{F}, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Комментарии   

0 #1 ANONIM 05.12.2017 18:31
что то, как то...
не очень...
Цитировать

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить