Найти неопределенный интеграл:

\[\int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx.\]

Решение.

Для подинтегрального выражения имеем

\[\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1-0,5} + x^{-0,5} = x^{0,5} + x^{-0,5}.\]

Следовательно,

\[\int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx = \int (x^{0,5} + x^{-0,5}) dx = \frac{x^{1,5}}{1,5} + \frac{x^{0,5}}{0,5} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.\]

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

\(\begin{multline}
\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C\right)' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C\right)' = \\
= \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1} + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \frac{x+1}{\sqrt{x}}.
\end{multline}\)

• < Назад