Найти неопределенный интеграл:

\[\int (1-x)(1-2x)(1-3x) dx.\]

Решение.

Для подынтегрального выражения имеем

\(\begin{multline}
(1-x)(1-2x)(1-3x) = (1 - 2x - x + 2x^2)(1 - 3x) = (1 - 3x + 2x^2)(1-3x) = \\
= 1 - 3x + 2x^2 - 3x + 9x^2 - 6x^3 = 1 - 6x + 11x^2 - 6x^3.
\end{multline}\)

Следовательно,

\(\begin{multline}
\int (1-x)(1-2x)(1-3x) dx = \int \left(1 - 6x + 11x^2 - 6x^3\right) dx = \\
= \int 1 dx - \int 6x dx + \int 11x^2 dx - \int 6x^3 dx = \\
= 1\int dx - 6\int x dx + 11\int x^2 dx - 6\int x^3 dx = \\
= x - 6\cdot\frac{x^2}{2} + 11\cdot\frac{x^3}{3} - 6\cdot\frac{x^4}{4} + C = x - 3x^2 + \frac{11}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^4 + C.
\end{multline}\)

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

\(\begin{multline}
\left(x - 3x^2 + \frac{11}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^4 + C\right)' = 1 - 3\cdot 2\cdot x^1 + \frac{11}{3}\cdot 3 \cdot x^2 - \frac{3}{2}\cdot 4 \cdot x^3 + 0 = \\
= 1 - 6x + 11x^2 - 6x^3 = (1-x)(1-2x)(1-3x).
\end{multline}\)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить