Задача. Доказать, что корень из 3 иррациональное число.

Решение. Проведем доказательство от противного. Допустим, что \(\sqrt{3}\) рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) - целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
\(\sqrt{3} = \frac{m}{n} \Rightarrow 3 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 3n^2.\)

Отсюда следует, что \(m^2\) кратно 3, значит, и \(m\) кратно 3 (если бы целое \(m\) не было кратно 3, то и \(m^2\) не было бы кратно 3). Пускай \(m=3r\), где \(r\) - целое число. Тогда
\((3r)^2=3n^2 \Rightarrow 9r^2=3n^2 \Rightarrow n^2=3r^2\)

Следовательно, \(n^2\) кратно 3, значит, и \(n\) кратно 3. Мы получили, что \(m\) и \(n\) кратны 3, что противоречит несократимости дроби \(\frac{m}{n}\). Значит, исходное предположение было неверным, и \(\sqrt{3}\) — иррациональное число.

Комментарии   

0 #6 Л-л 19.10.2017 15:43
n=3(r/√3)
Цитировать
+2 #5 Элина 02.09.2015 15:49
Доказательство верное.

Нам сегодня также доказывали на паре. Может быть немного замудрено для школы.
Цитировать
+18 #4 Шу 12.12.2014 12:17
Доказательство верное.
Цитировать
-27 #3 дэн 18.09.2014 12:57
Вы меня совсем убили своими рассуждениями -_-
Я похоже совсем отупел за 4 года...хотя я понимаю, что данное доказательство -из пустого в порожнее
Цитировать
+17 #2 Рахматджон Хакимов 04.11.2013 17:19
Цитирую al-po:
число m=3r, где r – целое число (что, впрочем, весьма не корректно(!)поскольку целое число – это натуральное число или число 0, или отрицательное целое число)

Если целое число m кратно 3, то m/3 (то есть r) тоже целое число. Что тут не так?
Цитировать
-49 #1 al-po 04.11.2013 15:16
Написана сущая галиматья!
И не надо дурить школьников!
Здесь совершенно не доказано, что √3 - есть иррациональное число.
Действительно, когда так называемый «учитель» подвёл нас к тому, что число m=3r, где r – целое число (что, впрочем, весьма не корректно(!)пос кольку целое число – это натуральное число или число 0, или отрицательное целое число). Однако, здесь следует всё же положить r – натуральное число.
И тогда, если подставить такое значение числа m в начальное равенство √3=m/n , то из него получат очевидное n=r√3. Ну и где же тут число n – кратное числу 3? Оно никак не кратное числу 3, а значит и не доказана иррациональност ь числа √3.
Цитировать

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить