Задача. Доказать, что корень из 3 иррациональное число.

Решение. Проведем доказательство от противного. Допустим, что \(\sqrt{3}\) рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) - целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
\(\sqrt{3} = \frac{m}{n} \Rightarrow 3 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 3n^2.\)

Отсюда следует, что \(m^2\) кратно 3, значит, и \(m\) кратно 3 (если бы целое \(m\) не было кратно 3, то и \(m^2\) не было бы кратно 3). Пускай \(m=3r\), где \(r\) - целое число. Тогда
\((3r)^2=3n^2 \Rightarrow 9r^2=3n^2 \Rightarrow n^2=3r^2\)

Следовательно, \(n^2\) кратно 3, значит, и \(n\) кратно 3. Мы получили, что \(m\) и \(n\) кратны 3, что противоречит несократимости дроби \(\frac{m}{n}\). Значит, исходное предположение было неверным, и \(\sqrt{3}\) — иррациональное число.