Даны прямая и четыре точки A, B, C и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки AB, BC и CD пересекают прямую; 2) отрезки AC и BC пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает; 3) отрезки AB и CD пересекают прямую, а отрезок BC не пересекает; 4) отрезки AB и CD не пересекают прямую, а отрезок BC пересекает; 5) отрезки AB, BC, CD не пересекают прямую; 6) отрезки AC, BC и BD пересекают прямую? Объясните ответ.
Решение:
1) Если отрезок AB пересекает прямую, то точки A и B лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок BC пересекает прямую, то точки B и C лежат в разных полуплоскостях.
Так как мы уже знаем, что точки A и B лежат в разных полуплоскостях и что B и C тоже лежат в разных полуплоскостях. Значит, A и C лежат в одной полуплоскости.
Если отрезок CD пересекает прямую, то точки C и D лежат в разных полуплоскостях. Нам известно, что точки A и C лежат в одной полуплоскости, поэтому точки A и D лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок AD пересекает прямую.

2) Если отрезок AC пересекает прямую, то точки A и C лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок BC пересекает прямую, то точки B и C лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой.
Если отрезок BD не пересекает прямую, то точки B и D лежат в одной полуплоскости. Так как точки A и B лежат в одной полуплоскости, то это значит, что точки A, B и D лежат в одной полуплоскости. Значит, отрезок AD не пересекает прямую.

3) Если отрезок AB пересекает прямую, то точки A и B лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок CD пересекает прямую, то точки C и D лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок BC не пересекает прямую, то точки B и C лежат в одной полуплоскости. Так как BC не пересекает прямую, а CD пересекает прямую, поэтому точка B лежит в той же полуплоскости что и точка C, а точки D и C лежат в разных полуплоскостях. Так как точки B и D лежат в разных полуплоскостях и точки A и B лежат в разных полуплоскостях, поэтому точки A и D лежат в одной полуплоскости. Значит, отрезок AD не пересекает прямую.

4) Если отрезок AB не пересекает прямую, то точки A и B лежат в одной полуплоскости.
Если отрезок CD не пересекает прямую, то точки C и D лежат в одной полуплоскости.
Если отрезок BC пересекает прямую, то точки B и C лежат в разных полуплоскостях. Так как C и D лежат в одной полуплоскости и точки B и C лежат в разных полуплоскостях, поэтому точки B и D лежат в разных полуплоскостях.
Так как B и D лежат в разных полуплоскостях и точки A и B лежат в одной полуплоскости, поэтому точки A и D лежат в разных полуплоскостях. Значит, отрезок AD пересекает прямую.

5) Если отрезок AB не пересекает прямую, то точки A и B лежат в одной полуплоскости.
Если отрезок BC не пересекает прямую, то точки B и C лежат в одной полуплоскости.
Если отрезок CD не пересекает прямую, то точки C и D лежат в одной полуплоскости. Так как точки A и B лежат в одной полуплоскости и точки B и C лежат в одной полуплоскости, поэтому точки A и С лежат в одной полуплоскости. Так как точки A и C лежат в одной полуплоскости и точки C и D лежат в одной полуплоскости, поэтому точки A и D лежат в одной полуплоскости. Значит, отрезок AD не пересекает прямую.

6) Если отрезок AC пересекает прямую, то точки A и C лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок BC пересекает прямую, то точки B и C лежат в разных полуплоскостях.
Если отрезок BD пересекает прямую, то точки B и D лежат в разных полуплоскостях. Так как точки A и C лежат в разных полуплоскостях и точки B и C лежат в разных полуплоскостях, поэтому точки A и B лежат в одной полуплоскости.
Так как точки A и B лежат в одной полуплоскости и точки B и D лежат в разных полуплоскостях, поэтому точки A и D лежат в разных полуплоскостях. Значит, отрезок AD пересекает прямую.

• < Назад
• Вперёд >