Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны.

Решение:

1) Пусть ABC - данный равнобедренный треугольник с основанием AC, AE - биссектриса и CD - тоже биссектриса.

Так как углы BAC и BCA равны и AE и CD - биссектрисы, то углы BAE, CAE, BCD и ACD равны. То есть углы BAE и BCD равны. Треугольники BAE и BCD равны по второму признаку равенства треугольников. У них \(\angle\)ABC - общий, \(\angle\)BAE = \(\angle\)BCD, а стороны AB и BC равны как боковые. Из равенства треугольников BAE и BCD следует, что AE = CD. То есть, биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны.

2) Пусть ABC - данный равнобедренный треугольник с основанием AC, AE - медиана и CD - тоже медиана.

Так как стороны AB и BC равны как боковые и AE и CD - медианы, то отрезки AD, BD, CE и BE равны. То есть отрезки BE и BD равны. Треугольники BAE и BCD равны по первому признаку равенства треугольников. У них \(\angle\)ABC - общий, BE = BD, а стороны AB и BC равны как боковые. Из равенства треугольников BAE и BCD следует, что AE = CD. То есть, медианы, проведённые из вершин при основании, равны.

• < Назад
• Вперёд >