Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.
Решение:
1) Так как BD - медиана, то отрезки AD и CD равны. А так как BD и высота, то углы ADB и CDB прямые и равны 90°.
Треугольники ADB и CDB равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона BD - общая, \(\angle\)ADB = \(\angle\)CDB и  AD = CD. Из равенства этих треугольников следует, что AB = CB. По определению треугольник ABC - равнобедренный.
2) Так как BD - высота, то углы ADB и CDB прямые и равны 90°. А так как BD и биссектриса, то углы ABD и CBD равны.
Треугольники ADB и CDB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона BD - общая, \(\angle\)ADB = \(\angle\)CDB и  \(\angle\)ABD = \(\angle\)CBD. Из равенства этих треугольников следует, что AB = CB. По определению треугольник ABC - равнобедренный.
3) Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Луч BD пересекает прямую AC в точке D. В полуплоскости, в которой не лежит точка B, отложим отрезок DB1, равный отрезку DB.
Так как BD медиана и D - середина отрезка AC, то отрезки AD и CD равны. Треугольники DB1A и DBC равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы B1DA и BDC равны как вертикальные, AD = CD и DB = DB1. Из равенства треугольников DB1A и DBC следует равенство сторон B1A и BC и равенство углов DB1A и DBC.
Так как BD - биссектриса, то углы DBA и DBC равны. Значит, \(\angle\)DBA = \(\angle\)DBC = \(\angle\)DB1A. По теореме 3.4 треугольник ABB1 - равнобедренный с боковыми сторонами BA и B1A. Так как BA = B1A и B1A = BC, то BA = BC. По определению треугольник ABC - равнобедренный.