Докажите, что у равнобедренного высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Решение:

Пусть ABC - данный равнобедренный треугольник с основанием AC и BD - высота, опущенная на основание.
Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Луч BD пересекает прямую AC в точке D. В полуплоскости, в которой не лежит точка B относительно прямой AC отложим отрезок DB₁, равный отрезку DB.
Углы \(\angle\)ADB и \(\angle\)BDC равны, так как BD - высота. Углы \(\angle\)BDC и \(\angle\)ADB₁ равны как вертикальные. Если \(\angle\)ADB = \(\angle\)BDC и \(\angle\)BDC = \(\angle\)ADB₁, то \(\angle\)ADB = \(\angle\)ADB₁.
Треугольники ABD и AB1D равны по первому признаку. У них AD - общая сторона, \(\angle\)ADB = \(\angle\)ADB₁ и BD = BD₁. Так же равны треугольники BCD и BCD₁. Из равенства треугольников ABD и AB₁D следует равенство отрезков AB и AB₁. Из равенства треугольников BCD и B₁CD следует равенство отрезков BС и B₁С. Так как треугольник ABC равнобедренный, то в нём стороны AB и BC равны.
AB = AB₁ и BС = B₁С, также AB = BC. Отсюда, AB₁ = B₁C.
Треугольники ABB₁ и CBB₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. У них AB = BC, AB₁ = B₁C, а сторона BB₁ - общая. Из равенства треугольников ABB₁ и CBB₁ следует, что \(\angle\)ABB₁ = \(\angle\)CBB₁, т.е. \(\angle\)ABD = \(\angle\)СBD. Это значит, что BD - биссектриса. Значит, BD и медиана.
Значит, в равнобедренном треугольнике высота, опущенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

• < Назад
• Вперёд >