В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника ABC, если угол ADC равен: 1) 60°; 2) 75°; 3) \(\alpha\).
Решение:
По условию задачи нам известен угол ADC. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём \(\angle\)A.
1) \(\angle\)ADC = 60°. Пусть x - градусная мера угла ACD, а 2x - градусная мера угла A. Тогда:
x + 2x + 60° = 180°
3x + 60° = 180°
3x = 180° - 60°
3x = 120°
x = 120° : 3
x = 40° - градусная мера угла ACD.
40° \(\cdot\) 2 = 80° - градусная мера угла A.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle\)A = \(\angle\)C = 80°. Найдём третий угол - угол B:
\(\angle\)B = 180° - (\(\angle\)A + \(\angle\)C) = 180° - (80° + 80°) = 180° - 160° = 20°.

2) \(\angle\)ADC = 75°. Пусть x - градусная мера угла ACD, а 2x - градусная мера угла A. Тогда:
x + 2x + 75° = 180°
3x + 75° = 180°
3x = 180° - 75°
3x = 105°
x = 105° : 3
x = 35° - градусная мера угла ACD.
35° \(\cdot\) 2 = 70° - градусная мера угла A.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle\)A = \(\angle\)C = 70°. Найдём третий угол - угол B:
\(\angle\)B = 180° - (\(\angle\)A + \(\angle\)C) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

3) \(\angle\)ADC = \(\alpha\)°. Пусть x - градусная мера угла ACD, а 2x - градусная мера угла A. Тогда:
x + 2x + \(\alpha\) = 180°
3x + \(\alpha\) = 180°
3x = 180° - \(\alpha\)
x = (180° - \(\alpha\)) : 3
x = \(\frac{180° - \alpha}{3}\) - градусная мера угла ACD.
\(2 \cdot \frac{180° - \alpha}{3} = \frac{2 \cdot (180° - \alpha)}{3} = \frac{360° - 2\alpha}{3} = \frac{360°}{3} - \frac{2\alpha}{3} = 120° - \frac{2}{3}\alpha\) - градусная мера угла A.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle\)A = \(\angle\)C = \(120° - \frac{2}{3}\alpha\). Найдём третий угол - угол B:
\(\angle\)B = 180° - (\(\angle\)A + \(\angle\)C) = 180° - (\(120° - \frac{2}{3}\alpha\)) \(\cdot\) 2 = 180° - (240° - \(\frac{4}{3}\alpha\)) = 180° - 240° + \(\frac{4}{3}\alpha\) = \(\frac{4}{3}\alpha\) - 60°.

Ответ: 1) 80°, 80°, 20°; 2) 70°, 70°, 40°; 3) \(120° - \frac{2}{3}\alpha\), \(120° - \frac{2}{3}\alpha\), \(\frac{4}{3}\alpha\) - 60°.