В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и углом при вершине B, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные (рис. 88).
Решение:
По теореме 3.3 следует, что в треугольнике ABC угол A равен углу B. Найдём градусную меру этих углов. Как мы знаем, сумма углов треугольника равна 180°. Пусть x - градусная мера угла при основании треугольника ABC. Тогда:
x + x + 36 = 180
2x + 36 = 180
2x = 180 - 36
2x = 144
x = 144 : 2
x = 72° - равен угол при основании треугольника ABC.
По условию задачи AD - биссектриса угла A. Значит, угол BAD равен 72° : 2 или 36°. В треугольнике ADB и угол ABD равен 36°, и угол BAD. Значит, из теоремы 3.4 следует, что треугольник ADB равнобедренный, т. е. стороны AD и BD в нём равны.
Биссектриса AD делит угол BAC пополам. А это значит, что \(\angle\)CAD = \(\angle\)BAD = 36°. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle\)ACD = \(\angle\)BAC = 72°. Мы нашли градусные меры двух углов треугольника CDA. Найдём третий угол этого треугольника - угол ADC:
\(\angle\)ADC = 180° - (\(\angle\)CAD + \(\angle\)BAD) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.
Мы видим, что в треугольнике CDA тоже два угла равны - \(\angle\)ADC = \(\angle\)ACD = 72°. Значит, треугольник CDA тоже равнобедренный.

• < Назад
• Вперёд >