Глава 9. Задача 1. Сформулировать и записать теорему Чебышева, используя понятие «сходимости по вероятности».

Решение.

Теорема Чебышева. Если \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_n\), ... - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа \(C\)), то, как бы мало ни было положительное число \(\varepsilon\), вероятность неравенства

\(\left|\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} - \frac{M(X_1) + M(X_2) + ... + M(X_n)}{n}\right| < \varepsilon\)

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Определение. Последовательность случайных величин \(X_1, X_2, ...\) сходится по вероятности к случайной величине \(X\), если для любого \(\varepsilon > 0\) вероятность неравенства \(|X_n - X| < \varepsilon\) при \(n \rightarrow\infty\) стремится к единице.

Переформулировка

Теорема Чебышева. Пусть \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_n\), ... - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа \(C\)). Тогда среднее арифметическое случайных величин \(X_1, ..., X_n\) стремится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий \(M(X_1), ..., M(X_n)\) при \(n \rightarrow\infty\):

\(\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} \rightarrow \frac{M(X_1) + M(X_2) + ... + M(X_n)}{n}, \quad n \rightarrow\infty\).

 

• Вперёд >