Глава 9. Задача 3. Дано: \(P(|X - M(X)| < \varepsilon) \geq 0,9\); \(D(X) = 0,004\). Используя неравенство Чебышева, найти \(\varepsilon\).

Решение.

Неравенство Чебышева

\(P(|X - M(X)| < \varepsilon) \geq 1 - D(X)/\varepsilon^2\).

По условию задачи \(D(X) = 0,004\).

Используя неравенство Чебышева, получаем

\(P(|X - M(X)| < \varepsilon) \geq 1 - 0,004/\varepsilon^2 = 0,9\).

Отсюда

\(1 - 0,004/\varepsilon^2 = 0,9\)

\(0,004/\varepsilon^2 = 1 - 0,9\)

\(0,004/\varepsilon^2 = 0,1\)

\(\varepsilon^2 = 0,004 / 0,1\)

\(\varepsilon^2 = 0,04\)

\(\varepsilon = \pm 0,2\)

Так как в неравенстве Чебышева число \(\varepsilon\) - положительное, поэтому окончательно получаем

\(\varepsilon = 0,2\)

Ответ. 0,2.