Глава 12. Задача 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(X\), зная ее плотность распределения:

а) \(f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}\) при \(-1 < x < 1\), \(f(x) = 0\) при остальных значениях \(x\);

Решение а).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины \(X\), возможные значения которой принадлежат отрезку \([a, b]\), называют определенный интеграл
\[M(X) = \int\limits_{a}^{b}xf(x)\,\mathrm{d}x. \qquad (*)\]

Пользуясь формулой (*) найдем математическое ожидание заданной случайной величины \(X\):
\[M(X) = \int\limits_{-1}^{1} x \dfrac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x.\]

Произведем замену переменной \(x\) на переменную \(t\) следующим образом:

\[
{t = 1-x^2}\;\;
{\Rightarrow dt = -2x\,dx}\;\;
{\Rightarrow x\,dx = -\frac{1}{2}dt.}
\]

\[
{\sqrt{1-x^2} = \sqrt{t}.}
\]

Отсюда,

\[\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{-1}{2\sqrt{t}}\,dt = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{t}}\,dt = \\= -\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t} + const = -\sqrt{t} + const = -\sqrt{1-x^2} + const.\]

Вычислим определенный интеграл используя формулу Ньютона - Лейбница:

\[\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\sqrt{1-x^2}\Bigr|^{1}_{-1} = 0 - 0 = 0,\]

так как

\(-\sqrt{1-1^2} = -\sqrt{1-1}= -\sqrt{0} = 0.\)

\(-\sqrt{1-(-1)^2} = -\sqrt{1-1}= -\sqrt{0} = 0.\)

Таким образом, искомое математическое ожидание непрерывной случайной величины \(X\) равно

\[M(X) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\cdot 0 = 0.\]

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения \(X\) принадлежат отрезку \([a, b]\), то

\[D(X) = \int\limits_{a}^{b}[x - M(X)]^2 f(x)\,\mathrm{d}x. \qquad (**)\]

Пользуясь формулой (**) найдем дисперсию заданной случайной величины \(X\):
\[D(X) = \int\limits_{-1}^{1}[x-0]^2\dfrac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x.\]

Упростим подинтегральное выражение:

\[\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{1 - (1 - x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \dfrac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \\ = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \dfrac{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}{\sqrt{1-x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \sqrt{1-x^2}.\]

Найдем интеграл:

\[\int\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \int\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \sqrt{1-x^2}\right)\,\mathrm{d}x = \\ = \int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x - \int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x.\]

(1)

\[\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin (x) + const.\]

(2)

\(x = \sin u \rightarrow u = \arcsin(x), \, dx = \cos u\,du\)

\[\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = \int\sqrt{1-\sin^2 u}\cdot \cos u\,du = \int\cos^2 u\,du = \\ = \int\frac{1}{2}(\cos 2u + 1)du = \frac{1}{2}\int\cos 2u\,du + \frac{1}{2}\int 1\,du = \\ = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\int\cos 2u\,d(2u) + \frac{1}{2}u + const = \\ = \frac{1}{4}\sin (2u) + \frac{1}{2}u + const = \frac{1}{4}\sin (2\arcsin (x) ) + \frac{1}{2}\arcsin (x) + const.\]

Таким образом, используя (1) и (2):

\[\int\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin (x) - \left(\frac{1}{4}\sin (2\arcsin (x) ) + \frac{1}{2}\arcsin (x) \right) + const.\]

\[\int\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\arcsin (x) - \frac{1}{4}\sin (2\arcsin (x) ) + const.\]

Следовательно, используя формулу Ньютона - Лейбница, получаем искомую дисперсию заданной непрерывной случайной величины \(X\)

\[D(X) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2}\arcsin (x) - \frac{1}{4}\sin(2\arcsin(x))\right)\Bigr|^{1}_{-1} = \\ = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2}(\arcsin (1) - \arcsin(-1)) - \frac{1}{4}(\sin(2\arcsin(1)) - \sin(2\arcsin(-1))\right) =\\ = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2}(2\cdot\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{4}(2\cdot\sin(2\frac{\pi}{2}))\right) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2}\cdot\pi - \frac{1}{4}\cdot 0\right) = \frac{1}{2}.\]

Ответ. а) \(M(X) = 0\), \(D(X) = 1/2\).