Глава 4. Задача 13. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, - с вероятностью 0,05.
Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

Решение.

Событие A = {изделие признанно при проверке стандартным}.

Можно сделать 2 предположения:

\(H_1\) = {изделие в действительности стандартное}.

\(H_2\) = {изделие в действительности нестандартное}.

По условию задачи

\(P(H_1) = 0,96\).

\(P(H_2) = 0,04\).

Условная вероятность того, что изделие признанно при проверке стандартным, при условии, что верно предположение \(H_1\), равна

\(P_{H_1}(A) = 0,98\).

Условная вероятность того, что изделие признанно при проверке стандартным, при условии, что верно предположение \(H_2\), равна

\(P_{H_1}(A) = 0,05\).

По формуле полной вероятности

\(P(A) = P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) = \\ = 0,96 \cdot 0,98 + 0,04 \cdot 0,05 = 0,9428.\)

Вероятность того, что изделие в действительности стандартное, при условии, что изделие признанно при проверке стандартным, найдем по формуле Байеса

\(P_A(H_1) = \frac{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A)}{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A)} = \\ = \frac{0,96 \cdot 0,98}{0,9428} \approx 0,998.\)

Ответ. 0,998.

• < Назад