Задача № 411. Найти значения следующих выражений:

\[\text{а)}\;\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}.\]

\[\text{б)}\;\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}.\]

\[\text{в)}\;\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}.\]

Решение.

Решение а).

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} = \frac{0^2 - 1}{2\cdot 0^2 - 0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1.\]

Решение б).

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{(x - 1)(x + 1)}{(2x + 1)(x - 1)} = \\ = \lim\limits_{x\to 0}\frac{x + 1}{2x + 1} = \frac{1+1}{2\cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}.\]

Решение в).

\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} = \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\left(x^2 - 1\right)\cdot\frac{1}{x^2}}{\left(2x^2 - x - 1\right)\cdot\frac{1}{x^2}} = \\ = \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{2 - 0 - 0} = \frac{1}{2}.\]

Ответ. а) 1. б) \(\frac{2}{3}\). в) \(\frac{1}{2}\).

• Вперёд >