Задача № 416. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}.\]

Решение.

\[\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} = \\ = \frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}\cdot \frac{1}{x^{20}}\cdot \frac{1}{x^{30}}}{(2x+1)^{50}\cdot \frac{1}{x^{50}}} = \\ = \frac{(2x\cdot\frac{1}{x}-3\cdot\frac{1}{x})^{20}(3x\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x})^{30}}{(2x\cdot\frac{1}{x}+1\cdot\frac{1}{x})^{50}} = \\ = \frac{(2-\frac{3}{x})^{20}(3+\frac{2}{x})^{30}}{(2+\frac{1}{x})^{50}}.\]

Отсюда,

\[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} = \\ = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(2-\frac{3}{x})^{20}(3+\frac{2}{x})^{30}}{(2+\frac{1}{x})^{50}} = \\ = \frac{(2-0)^{20}(3+0)^{30}}{(2+0)^{50}} = \frac{2^{20}\cdot 3^{30}}{2^{50}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{30}.\]

Ответ. \(\left(\frac{3}{2}\right)^{30}\).

• < Назад
• Вперёд >