Задача № 420. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^4 - 3x + 2}{x^5 - 4x + 3}.\]

Решение.

Число 1 является корнем многочлена \(x^4 - 3x + 2\). Действительно,

\[1^4 - 3\cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 3x + 2\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	0	0	-3	2
1	1	1	1	-2	0

Получаем, что

\[x^4 - 3x + 2 = (x-1)(x^3+x^2+x-2).\]

Число 1 является корнем многочлена \(x^5 - 4x + 3\). Действительно,

\[1^5 - 4\cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 4x + 3\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	0	0	0	-4	3
1	1	1	1	1	-3	0

Получаем, что

\[x^5 - 4x + 3 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3).\]

Таким образом,

\[\frac{x^4 - 3x + 2}{x^5 - 4x + 3} = \frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)} = \\ = \frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}.\]

Следовательно, искомый предел равен

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^4 - 3x + 2}{x^5 - 4x + 3} = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3} = \\ = \frac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3} = \frac{1}{1} = 1.\]

Ответ. 1.

• < Назад
• Вперёд >