Задача № 421. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16}.\]

Решение.

Число 2 является корнем многочлена \(x^3 - 2x^2 - 4x + 8\). Действительно,

\[2^3 - 2\cdot 2^2 - 4\cdot 2 + 8 = 8 - 8 - 8 + 8 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^3 - 2x^2 - 4x + 8\) на \((x-2)\) по схеме Горнера:

	1	-2	-4	8
2	1	0	-4	0

Получаем, что

\[x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = (x-2)(x^2-4) = \\ = (x-2)(x-2)(x+2) = (x-2)^2(x+2).\]

Преобразуем знаменатель заданного выражения:

\[x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2)^2 - 2\cdot x^2\cdot 4 + 4^2 = \\ = (x^2-4)^2 = (x-2)^2(x+2)^2.\]

Таким образом,

\[\frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16} = \frac{(x-2)^2(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2} = \\ = \frac{1}{x+2}.\]

Следовательно, искомый предел равен

\[\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16} = \lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{x+2} = \\ = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.\]

Ответ. \(\frac{1}{4}\).

• < Назад
• Вперёд >