Задача № 425. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^m - 1}{x^n - 1} \\ (m \,\text{и}\, n - \text{натуральные числа}).\]

Решение.

\[x^k - 1 = x^k - x^{k-1} + x^{k-1} + ... - x + x - 1 = \\ = x\cdot x^{k-1} - x^{k-1} + x\cdot x^{k-2} + ... - x + x\cdot 1 - 1 = \\ = x\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1) + \\ - 1\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1) = \\ = (x-1)\cdot(x^{k-1} + x^{k-2} + ... + 1),\]

где \(k\) - натуральное число.

Отсюда,

\[\frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \\ = \frac{(x-1)\cdot (x^{m-1} + x^{m-2} + ... + 1)}{(x-1)\cdot (x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1)} = \\ = \frac{x^{m-1} + x^{m-2} + ... + 1}{x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1}.\]

Следовательно, искомый предел равен

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \\ = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{m-1} + x^{m-2} + ... + 1}{x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1} = \\ = \frac{\underbrace{1+1+...+1}_\textrm{m}}{\underbrace{1+1+...+1}_\textrm{n}} = \frac{m}{n}.\]

Ответ. \(\frac{m}{n}\).

• < Назад