№ 10.1. б) Доказать неравенство
\((1) \quad n^{n+1}>(n+1)^n \quad (n \geq 3) \).

Решение.Для доказательства неравенства (1) воспользуемся методом математической индукции. Покажем, что при \(n=3\) неравенство (1) верно.

\(3^4=81>4^3=64\).

Что и требовалось показать.

Теперь предположим, что неравенство (1) верно при \(n=k\):

\((2) \quad k^{k+1}>(k+1)^k\)

и покажем, что оно также верно при \(n=k+1\):

\((3) \quad (k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1}\)

Умножим обе части неравенства (2) на \(\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}\).
\(k^{k+1}\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}>(k+1)^k\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}\),
то есть
\(\begin{multline}
(k+1)^{k+2}>(k+1)^k\cdot\frac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}=\frac{(k+1)^{2k+2}}{k^{k+1}}=\\
\frac{((k+1)^{2})^{k+1}}{k^{k+1}}={\left(\frac{k^2+2k+1}{k}\right)}^{k+1}={\left(k+2+\frac{1}{k}\right)}^{k+1}>\\
>(k+2)^{k+1}.
\end{multline}\)
Неравенство (3) верно.

Неравенство (1) доказано.

• < Назад
• Вперёд >