№ 2. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа \(n\) справедливо следующее равенство:
\(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Решение. При \(n=1\) равенство верно:
\(1^2=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}\),
\(1=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\),
\(1=1\).

Теперь предполагая верность равенства при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число):
\(1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\),
покажем его верность при \(n=k+1\):
\(1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\)
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}=\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6}=\)
\(=\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2))}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\),
т.е.
\(1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}\).

Что и требовалось доказать.

• < Назад
• Вперёд >