- Подробности
- Родительская категория: Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу
- Категория: I. §1. Вещественные числа
№ 7. Доказать, что если \(x>-1\), то справедливо неравенство
\((1+x)^n \geq 1+nx\quad (n>1)\),
причем знак равенства имеет место лишь при \(x=0\).
Решение. Для \(x>-1\) и \(x\neq 0\), используя метод математической индукции, докажем следующее строгое неравенство:
\((1) \quad (1+x)^n>1+nx \quad (n>1).\)
При \(n=2\) строгое неравенство верно:
\((1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x\),
так как \(x^2>0\).
Пусть при \(n=k\) (\(k\) - натуральное число) верно строгое неравенство:
\((1+x)^k>1+kx\).
Теперь докажем его верность при \(n=k+1\). Так как \(x>-1\), то \(1+x>0\) и
\(\begin{multline}
(2) \quad (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^2=\\=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x.
\end{multline}\)
В (2) последнее неравенство верно, потому что \(kx^2>0\). Следовательно,
\((1+x)^{k+1}>1+(k+1)x\).
То есть (1) имеет место для всех \(x>-1\), кроме нуля.
При \(x=0\) имеет место равенство:
\((1+0)^n=1^n=1=1+0=1+n\cdot0\),
\((1+0)^n=1+n\cdot0\).
Задача полностью решена.
- А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §1. Контрольные вопросы, ответы
- Распределение вероятностей
- А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §2. Контрольные вопросы, ответы
- Генеральная совокупность и выборка
- А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §4. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 6. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §3. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 7. Контрольные вопросы, ответы
- Доказать, что корень из 3 иррациональное число
- А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 8. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §5. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 9. Контрольные вопросы, ответы
- А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. §10. Контрольные вопросы, ответы
- Краткая история развития статистики
- А.В. Погорелов. Геометрия. 9 класс. §11. Контрольные вопросы, ответы
- Виленкин и др., Математика, 6 класс. Задача из контрольной, 2-я четверть
- Виленкин и др., Математика, 6 класс. Задача из контрольной, 2-я четверть (2)
- Виленкин и др., Математика, 5 класс. Задача №4, решение
- Виленкин и др., Математика, 6 класс. Задача №1002, решение
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. №9