Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1	\(\operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1\)	\(\forall \alpha\)
2	\(\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha\)	\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z\)
3	\(\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha\)	\(\alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z\)
4	\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1\)	\(\alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z\)

 

Формулы сложения и вычитания аргументов

№	Формула
1	\(\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)
2	\(\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)
3	\(\operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta}\)
4	\(\operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}\)

 

Формулы двойного угла

№	Формула
1	\(\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
2	\(\operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}\)  \(\operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}\)
3	\(\operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}\)
4	\(\operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}\)

 

Формулы тройного угла

№	Формула
1	\(\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,\)
2	\(\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,\)
3	\(\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}\)
4	\(\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}\)

 

Формулы понижения степени

№	Синус
1	\(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\)
2	\(\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}\)
3	\(\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}\)
4	\(\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}\)

 

№	Косинус
5	\(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\)
6	\(\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}\)
7	\(\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}\)
8	\(\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}\)

 

№	Произведение
9	\(\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}\)
10	\(\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}\)
11	\(\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}\)
12	\(\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}\)

 

Формулы преобразования произведений функций в сумму

№	Формула
1	\(\sin  \alpha  \sin  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{2}\)
2	\(\sin  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta) }{2}\)
3	\(\cos  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) +  \cos ( \alpha + \beta)}{2}\)

 

Формулы преобразования суммы функций в произведение

№	Формула
1	\(\sin  \alpha \pm  \sin  \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}\)
2	\(\cos  \alpha + \cos  \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}\)
3	\(\cos  \alpha - \cos  \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}\)
4	\(\operatorname{tg}  \alpha \pm \operatorname{tg}  \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos  \alpha \cos  \beta}\)
5	\(\operatorname{ctg}  \alpha \pm \operatorname{ctg}  \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin  \alpha \sin  \beta}\)

• < Назад
• Вперёд >