Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Ответ. Первый признак равенства треугольников - Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 угол A= углу A1, AB=A1B1, AC=A1C1(рис. 44).

Рис. 44.
Докажем, что треугольники равны.

Пусть A1B2C2- треугольник, равный треугольникуABC, с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1 (рис. 45, а).

Так как A1B1=A1B2, то вершина B2 совпадает с вершиной B1 (рис. 45, б). Так как угол B1A1C1= углу B2A1C2, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1 (рис. 45, в). Так как A1C1=A1C2, то вершина C2 совпадает с вершиной C1 (рис. 45, г).
Итак, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
В начале доказательства рисуют треугольник A1B2C2 равный треугольнику ABC с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1 (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B1 и B2 на том основании, что A1B1 = A1B2. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A1C2 и A1C1 на том основании, что \(\angle\)B2A1C1 = \(\angle\)B2A1C2. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один).
Наконец, утверждается совпадение вершин C1 и C2, так как A1C1 = A2C2. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.

Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Ответ. Второй признак равенства треугольников - Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и  прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 - два треугольника, у которых AB= A1B1, угол A= углу A1 и угол B= углу B1(рис. 47).

Докажем, что треугольники равны.
Пусть A1B2C2- треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1.
Так как A1B2=A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как угол B1A1C2= углу B1A1C1 и угол A1B1C2 = углу A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина C2 совпадает с вершиной C1.
Итак, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а  значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Вопрос 4.  Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ. Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ. Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство.
Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ. Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне  (рис. 52, а).

Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ. Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ. Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство.
Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из  равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Вопрос 12.  Докажите третий признак равенства треугольников.
Ответ. Третий признак равенства треугольников - Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два треугольника, у которых AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1(рис. 55).

Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A1, угол B не = углу B1, угол C не = углу C1. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1 (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2  и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Комментарии   

0 #10 Виолетта 20.01.2018 06:26
Spasibo :D
Цитировать
0 #9 Анита 24.05.2017 12:20
Кирилл, если 3 угла одного треугольника равны 3 углам другого треугольника, то такие треугольники ПОДОБНЫЕ.
Цитировать
-11 #8 Лика 12.01.2017 15:42
Обратная теоиема первому признаку равенства треугольников
Помогите плиз
Цитировать
-3 #7 Женя 26.11.2015 06:52
Цитирую Саша:
кто - нибудь скажите 3 случай третего признака... плииииииз!!!!

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники являются равными
Цитировать
+9 #6 марина 25.01.2015 10:26
Спасибо вам большое
Цитировать
-4 #5 Кирилл 03.02.2014 15:28
Цитирую Саша:
кто - нибудь скажите 3 случай третего признака... плииииииз!!!!

если 3 угла одного треугольака равны 3 углам другого треугольника то такие иреугольника равны!!!
Цитировать
-13 #4 ооооооооооо 02.02.2014 18:04
отлично
Цитировать
-10 #3 Александр 10.01.2014 11:25
Спасибо вам большое :-)
Цитировать
-17 #2 Рахматджон Хакимов 27.11.2013 12:30
Цитирую Саша:
кто - нибудь скажите 3 случай третего признака... плииииииз!!!!

Саша, пожалуйста, уточните Ваш вопрос.
Цитировать
-17 #1 Саша 27.11.2013 10:52
кто - нибудь скажите 3 случай третего признака... плииииииз!!!!
Цитировать

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить