Доказать тождества:
$$5.007. а) P_n=(n-1)(P_{n-1}+P_{n-2}); б) C_n^k C_{n-k}^{m-k}=C_m^k C_n^m.$$
Решение.
Решение уравнения а:
а) \(P_n=(n-1)(P_{n-1}+P_{n-2})\)
\(P_n=n!;\)

Приведём левую часть равенства к выражению, равному правой части равенства.
\begin{multline}(n-1)(P_{n-1}+P_{n-2})=(n-1)((n-1)!+(n-2)!)=\\
=(n-1)((n-1)(n-2)!+(n-2)!)=\\
=(n-1)((n-2)! \cdot (n-1+1))=(n-1)\cdot(n-2)!\cdot n=\\
=n\cdot (n-1)\cdot(n-2)!=n!=P_n\end{multline}

Значит, \(P_n=(n-1)(P_{n-1}+P_{n-2})\).
Что и требовалось доказать.

б) \(C_n^k C_{n-k}^{m-k}=C_m^k C_n^m\quad (*)\)
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1;\)
\(C_n^k = \frac{n!}{(n - k)! k!}\)
\(C_{n-k}^{m-k} = \frac{(n-k)!}{(n - k-(m-k))! (m-k)!}=\frac{(n-k)!}{(n - k-m+k)!(m-k)!}=\frac{(n-k)!}{(n-m)!(m-k)!}\)
\(C_m^k = \frac{m!}{(m - k)! k!}\)
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\)

1)\(C_n^k C_{n-k}^{m-k}=\frac{n!}{(n - k)! k!}\cdot \frac{(n-k)!}{(n-m)!(m-k)!}=\frac{n!}{(n-m)!(m-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-m)!(m-k)!}\)

2)\(C_m^k C_n^m=\frac{m!}{(m - k)! k!}\cdot \frac{n!}{(n - m)! m!}=\frac{n!}{(m-k)!k!(n-m)!}=\frac{n!}{k!(n-m)!(m-k)!}\)

Из первого и второго выражений следует, что выражение (*) верно. Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Возможно, Вам нужно вот это: