5.043. Третье слагаемое разложения \((2x+\frac{1}{x^2})^m\) не содержит \(x\). При каких значениях \(x\) это слагаемое равно второму слагаемому разложения \((1+x^3)^{30}\)?
Решение.
По определению \(T_{k+1}=C_n^k\cdot a^{n-k}\cdot b^k\).
Значит, \(T_3 = T_{2+1}=C_m^2\cdot (2x)^{m-2}\cdot (\frac{1}{x^2})^2=\)
\(=C_m^2\cdot 2^{m-2}\cdot x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}\). По условию задачи третье слагаемое разложения \((2x+\frac{1}{x^2})^m\) не содержит \(x\), то есть в данном случае \(x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=1\).
Решим полученное уравнение и найдём значение \(m\):
\(x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=1\)
\(x^{m-2}=x^4\)
\(m-2=4\Rightarrow m=6\).
Отсюда следует, что \(T_3=C_m^2\cdot 2^{m-2}\cdot x^{m-2}\cdot \frac{1}{x^4}=C_6^2\cdot 2^4\cdot x^4\cdot \frac{1}{x^4}=\)
\(=C_6^2\cdot 16\).
По определению \(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n\); \(C_n^0 = 1\).
То есть, \(C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2!}=\frac{6\cdot5}{2}=15\Rightarrow\)
\(\Rightarrow T_3=15\cdot16=240\).
\(T_2=T_{1+1}=C_{30}^1\cdot 1^{30-1}\cdot (x^3)^1=C_{30}^1\cdot x^3\).
\(C_{30}^1=\frac{30!}{(30-1)!1!}=\frac{30\cdot29!}{29!\cdot1}=\frac{30}{1}=30\Rightarrow\)
\(\Rightarrow T_2=30\cdot x^3\).

\(240=30\cdot x^3\)
\(x^3=240:30\)
\(x^3=8\Rightarrow x=2\).
Ответ: \(x=2\).

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить