Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну их этих прямых.
Решение:
Пусть a и b - данные пересекающиеся прямые, и пусть c - третья прямая. Прямая c может:
1) быть параллельна прямой a;
2) быть параллельна прямой b;
3) не быть параллельна прямым a и b.
Рассмотрим все случаи:
1) Предположим, что прямые a и c параллельны. Прямая a пересекается с прямой b в точке A. Если бы прямые b и c не пересекались, то через точку A проходили бы две прямые, не пересекающие прямую c: прямая a и прямая b. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая b, пересекая прямую a, должна пересекать и параллельную ей прямую c. Итак, прямая c пересекает прямую b.
2) Предположим, что прямые b и c параллельны. Прямая b пересекается с прямой a в точке B. Если бы прямые a и c не пересекались, то через точку B проходили бы две прямые, не пересекающие прямую c: прямая a и прямая b. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая a, пересекая прямую b, должна пересекать и параллельную ей прямую c. Итак, прямая c пересекает прямую a.
3) Предположим, что прямые a и c и b и c не параллельны. Прямые a и b пересекаются в точке A. Если прямые a и c не параллельны, то они пересекаются в какой нибудь точке. Если прямые b и c не параллельны, то они тоже пересекаются в какой нибудь точке. Значит, прямая c пересекает и прямую a, и прямую b.
Ответ: во всех трёх случаях прямая c пересекает по крайней мере одну из этих прямых.

• < Назад
• Вперёд >