Глава 7. Задача 3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	1	2
p	0,2	0,8

и

Y	0,5	1
p	0,3	0,7

Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами:
а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3.

Решение.

Решение а).

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y:

\(x_1y_1 = 1\cdot 0,5 = 0,5\).

\(x_1y_2 = 1\cdot 1 = 1\).

\(x_2y_1 = 2\cdot 0,5 = 1\).

\(x_2y_2 = 2\cdot 1 = 2\).

Вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей:

\(p_1g_1 = 0,2\cdot 0,3 = 0,06\).

\(p_1g_2 = 0,2\cdot 0,7 = 0,14\).

\(p_2g_1 = 0,8\cdot 0,3 = 0,24\).

\(p_2g_2 = 0,8\cdot 0,7 = 0,56\).

Произведения \(x_1y_2\) и \(x_2y_1\) равны между собой, поэтому вероятность возможного значения произведения будет равна сумме соответствующих вероятностей (\(p_1g_2 + p_2g_1\)).

Закон распределения XY:

XY	0,5	1	2
p	0,06	0,38	0,56

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

\(M(XY) = 0,5\cdot 0,06 +1\cdot 0,38 +2\cdot 0,56 = 1,53\).

Решение б).

Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

\(M(X) = 1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,8 = 1,8\).

\(M(Y) = 0,5\cdot 0,3 +1\cdot 0,7 = 0,85\).

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

\(M(XY) = M(X)\cdot M(Y) = 1,8\cdot 0,85 = 1,53\).

Ответ. 1,53.

• < Назад
• Вперёд >