Аксиоматика Колмогорова

Аксиоматика Колмогорова — общепринятый аксиоматический метод при математическом описании событий и вероятностей; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым^[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д.Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»: «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов.»

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали de:GeorgBohlmann^[3] (1908), С. Н. Бернштейн^[4] (1917), Р. Мизес^[5] (1919 и 1928), а также Ломницкий A.^[6] (1923) на базе идей Э. Бореля^[7] о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), позволившую описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть $~\Omega$ — множество элементов $~\omega$ , которые называются элементарными событиями, а $~\mathcal{F}$ — множество подмножеств $~\Omega$ , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а $~\Omega$ — пространством элементарных событий.

· Аксиома I (алгебра событий). $\mathcal{F}$ является алгеброй событий.

· Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию из $\mathcal{F}$ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число $\mathbf{P}(x)$ , которое называется вероятностью события .

· Аксиома III (нормировка вероятности). $\mathbf{P}(\Omega)=1$ .

· Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события и не пересекаются, то

$\mathbf{P}(x+y)= \mathbf{P}(x)+ \mathbf{P}(y)$ .

Совокупность объектов $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ , удовлетворяющая аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: $~\Omega$ состоит из единственного элемента $~\omega$ , $\mathcal{F}$ — из $~\Omega$ и множества невозможных событий (пустого множества) $\varnothing$ , при этом положено $\mathbf{P}(\Omega)=1, \mathbf{P}(\varnothing)=0$ . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

· Аксиома V (непрерывности). Для убывающей последовательности

$x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots$

событий из $\mathcal{F}$ такой, что

$\bigcap_{n} x_n = \varnothing,$

имеет место равенство

$\lim_{ n \rightarrow \infty } \mathbf{P}(x_n) = 0.$

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий $\mathcal{F}$ конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра $\mathcal{F}$ событий пространства элементарных исходов $\Omega$ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы $\sum_{n} x_n$ событий из $\mathcal{F}$ принадлежат $\mathcal{F}$ . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют $\sigma$ -алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле $(\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P})$ , где $\mathcal{F}_0$ — алгебра, $\mathbf{P}$ — вероятностная мера на ней. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{F}_0)$ , содержащая $\mathcal{F}_0$ . Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на $(\Omega, \mathcal{F}_0)$ неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств $\mathbf{P} = \mathbf{P}(\cdot)$ всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из $\mathcal{F}$ и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле $(\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P})$ может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры $\mathcal{F}$ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», прямо не представимые в мире наблюдений. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из $\mathcal{F}$ , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Подробности: Родительская категория: Математика; Категория: Математическая статистика