Задача № 419. Найти значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}.\]

Решение.

Число 1 является корнем многочлена \(x^3 - 3x + 2\). Действительно,

\[1^3 - 3\cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^3 + 0x^2 - 3x + 2\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	0	-3	2
1	1	1	-2	0

Получаем, что

\[x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2).\]

Число 1 является корнем многочлена \(x^2+x-2\). Действительно,

\[1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^2+x-2\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	1	-2
1	1	2	0

Получаем, что

\[x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)\]

Число 1 является корнем многочлена \(x^4 - 4x + 3\). Действительно,

\[1^4 - 4\cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^4 +0x^3 + 0x^2 - 4x + 3\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	0	0	-4	3
1	1	1	1	-3	0

Получаем, что

\[x^4 - 4x + 3 = (x-1)(x^3+x^2+x-3).\]

Число 1 является корнем многочлена \(x^3+x^2+x-3\). Действительно,

\[1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0.\]

Разделим многочлен \(x^3+x^2+x-3\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:

	1	1	1	-3
1	1	2	3	0

Получаем, что

\[x^4 - 4x + 3 = (x-1)(x-1)(x^2+2x+3) = (x-1)^2(x^2+2x+3).\]

Таким образом,

\[\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+2x+3)} = \\ = \frac{x+2}{x^2+2x+3}.\]

Следовательно, искомый предел равен

\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x+2}{x^2+2x+3} = \\ = \frac{1+2}{1+2+3} = \frac{1}{2}.\]

Ответ. \(\frac{1}{2}\).

• < Назад
• Вперёд >